Условно положительные направления токов в ветвях схемы

Элементы цепи

При сравнении внешних характеристик источника ЭДС рис. Мощность трёхфазной цепи 3.

Классический метод расчёта переходных процессов 5. В зависимости от электропроводности все вещества подразделяют на: 1.

Последовательное соединение в цепи Большое количество электрических цепей состоят из нескольких приемников тока.

Согласованный режим Согласованный режим электрической цепи обеспечивает максимальную передачу активной мощности от источника питания к потребителю. На схеме этот элемент выглядит следующим образом. В этой схеме реальные элементы цепи изображаются условными обозначениями, причем вспомогательные элементы цепи обычно не изображаются, а если сопротивление соединительных проводов намного меньше сопротивления других элементов цепи, его не учитывают.

Метод узловых потенциалов

Идеальному источнику тока приписывают внутреннее сопротивление, стремящееся к бесконечно большому значению, и неизменный ток Iк не зависящий от напряжения на его зажимах, равный току коротного замыкания, вследствие чего неограниченное увеличение присоединенной к источнику нагрузки сопровождается теоретически неограниченным возрастанием напряжения и мощности. Электрическая цепь и электрический ток, протекающий по ней, характеризуют электромагнитные процессы при помощи напряжения и силы тока.

Различают два рода тока: 1. Ветвь электрической цепи схемы — участок цепи с одним и тем же током. Последовательное включение источников питания источников ЭДС применяется тогда, когда требуется создать напряжение требуемой величины, а рабочий ток в цепи меньше или равен номинальному току одного источника ЭДС рис. Между узлами 1 и 3 имеются две параллельные ветви с источниками ЭДС Е1 и Е2 , между узлами 2 и 3 также имеются две параллельные ветви с резисторами R1 и R2. Данное устройство работы системы применяется к любому электрическому бытовому прибору.

По этой причине для расчета сложных электрических цепей разработаны более рациональные методы расчета, основные из них рассмотрены ниже. Сопротивление в этой электрической цепи приравнивается к сумме сопротивлений всех проводников системы. При сравнении внешних характеристик источника ЭДС рис. В случае когда у одного приемника энергии сопротивление меньше, через него может пройти больше тока, чем через другие элементы системы.

Классический метод расчёта переходных процессов 5. Стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС. Электрический ток в такой электрической системе имеет несколько вариантов пути прохождения. Это уравнение является линейным. В состав цепи входят: 1.
Законы Кирхгофа — Теория и задача

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Метод узловых (потенциалов) напряжений

ТОЭ › Методы расчета цепей постоянного тока

При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.

Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие. В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.

Важно отличать метод узловых напряжений (потенциалов) от метода узлового напряжения (метод двух узлов)

Метод узловых потенциалов примеры решения задач

Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.

Рис.1. Схема постоянного тока

Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.

Какой именно узел заземлять, значения не имеет. Заземлим, например, узел 4 φ4 = 0.

Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ1, φ2, φ3. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.

В общем виде система имеет вид:

Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения

имеют следующий смысл:

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:

Аналогично находятся и остальные проводимости:

J11 – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае

Аналогично

В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:

Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:

В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:

Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.

В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что

Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.

Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.

Рис.2. Моделирование в Multisim

Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.

Метод контурных токов (МКТ)

Данный метод подходит для решения схем, содержащих больше узлов, чем независимых контуров (например, схема из раздела про постоянный ток). Принцип решения состоит в следующем:

Выделяем независимые контуры (их должно быть столько, чтоб охватить все неизвестные токи). Контурные токи обычно называют I

11, I22 и т.д.

Определяем контурные сопротивления (сумма сопротивлений вдоль контура):

Далее определяются общие контурные сопротивления (те, что относятся одновременно к 2 контурам), они берутся со знаком минус:

Также определяем контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС вдоль контура):

Далее составляются уравнения (если имеем 4 контура, то система будет из 4 уравнений с 4 контурными токами в каждом, если из 5, то 5 и т.д.):

Данная система легко решается методом Крамера. Также в сети есть много онлайн-калькуляторов.

Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях: I1 = I11 (в первой ветви протекает только контурный ток I11) I2 = I33 – I22 (направления контурного тока I33 совпадает с направлением I2, направление I22 – противоположно, поэтому берем со знаком минус) По аналогии находим остальные токи.

Данный метод, как и другие (например, метод узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения) пригоден для цепей как постоянного, так и переменного тока. При расчете цепей переменного тока сопротивления элементов приводятся к комплексной форме записи. Система уравнений решается также в комплексной форме.

Глава 5. Топологические методы расчета электрических схем

§ 5.1. Основные понятия и определения

Топологические методы расчета электрических схем основаны либо на аналитическом, либо на геометрическом способе описания свойств графа, изображающего исследуемую электрическую цепь.

Аналитическое описание свойств графа, введенное еще Кирхгофом, основывается на применении матричной алгебры.

При геометрическом описании используют правила по преобразованию графов и правило Мэзона (Масона).

Матричная теория графов позволяет записать выражения для определителя и алгебраических дополнений без составления уравнений электрической схемы, что значительно сокращает вычисления при разложении определителей обычным алгебраическим способом. Это объясняется тем, что при раскрытии определителей, и алгебраических дополнений появляются слагаемые, имеющие одинаковые величины с противоположными знаками, которые затем сокращаются.

Схема электрической цепи — графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, показывающее соединения этих элементов. Нумеруются узлы, ветви и задаются направления токов (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Граф электрической схемы — условное изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками — ветвями графа, а узлы точками — узлами графа. Узлы и ветви графа соответствуют узлам и ветвям электрической схемы (рис. 5.2). Подграф схемы — часть графа схемы.

Рис. 5.2

Направленный граф схемы — граф с указанием условно-положительных направлений токов или напряжений в виде отрезков со стрелками.

При составлении графа ветви, содержащие только идеальные источники напряжения (идеальные источники тока), необходимо преобразовать (см. § 1.3). Преобразование ветви с идеальным источником э. д. с. приводит к ее закорачиванию и переносу э. д. с. в ветви, присоединенные к этому узлу. Преобразование ветви с идеальным источником тока приводит к ее размыканию и подключению таких же источников тока параллельно ветвям, присоединенным к этим узлам.

Дерево графа схемы — любая совокупность ветвей графа, соединяющих все его узлы без образования контуров. Заданный граф имеет несколько деревьев. Число возможных деревьев nд равно определителю ΔУ, составленному по методу узловых потенциалов, если считать, что проводимость каждой ветви схемы равна единице, Число возможных деревьев графа рис. 5.2 nд = 16 (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Величина дерева — произведение проводимостей всех ветвей дерева.

Сумма величин всех деревьев равна определителю матрицы узловых напряжений.

Ветвь связи (главная ветвь) — ветвь графа, не принадлежащая дереву.

Величина связи — произведение сопротивлений всех ветвей связи. Сумма величин всех связей равна определителю матрицы контурных токов.

Главный контур (независимый контур) — образован ветвями дерева и одной ветвью связи.

Путь графа — непрерывная последовательность ветвей, проходящих не более одного раза через каждый узел. Для графа (рис. 5.4) между узлами II и III путь образован следующими ветвями: 2, 5-3, 1-4-3, 1-6.

Рис. 5.4

Сечение графа — совокупность ветвей, рассечение которых делит граф на два изолированных подграфа. Ветви 1-4-6, 1-5-2 образуют сечение (рис. 5.5). Сечением может быть изолированный узел.

Рис. 5.5

Главное сечение графа содержит ветви связи и только одну ветвь дерева. Номер сечения соответствует номеру ветви дерева, пересекаемой сечением. За положительное направление сечения обычно принимают направление ветви дерева (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Законы Кирхгофа. Расчет цепей постоянного тока

В электротехнике существует два основных закона, на основании которых, теоретически можно решить все цепи.

Первый закон Кирхгофа выглядит следующим образом. Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, отходящих от узла.

Для данного рисунка имеем: I1 + I2 + I4 = I3 + I5.

Второй закон Кирхгофа. Сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС вдоль этого же контура. Для схемы на рисунке (стрелкой обозначим направление вдоль контура, которое будем считать условно положительным).

Начиная с узла, где сходятся токи I1, I3, I4 запишем все напряжения (по закону Ома): -I1⋅R1 — I1⋅R2 – в первой ветви (знак минус означает, что ток имеет направление противоположное выбранному направлению контура). I3⋅R3 – во второй ветви (знак «плюс», направление совпадает).

Теперь запишем ЭДС: E2 — E3 (знак «минус» у E3, потому что направление ЭДС противоположно направлению контура).

В соответствии с законом Кирхгофа напряжения равны ЭДС: -I1⋅R1 — I1⋅R2 + I3⋅R3 = E2 — E3.

Как видите, все довольно просто.

В большинстве случаев перед студентами стоит задача рассчитать величины токов во всех ветвях, зная величины ЭДС и резисторов. Для расчета сложной, разветвленной цепи постоянного тока, например этой, найденной на просторах интернета, воспользуемся следующими действиями.

Для начала задаемся условно положительными направлениями токов в ветвях (это значит, что ток может течь и в противоположном направлении, тогда он будет иметь отрицательное значение).

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура так, чтобы охватить каждый неизвестный ток (в данной схеме имеем 3 таких контура). Направления контуров выбираем для удобства по часовой стрелке (хоть это и необязательно):

По первому закону Кирхгофа составляем столько уравнений, чтоб охватить все неизвестные токи (в данной схеме для любых трех узлов):

Итого, имеем систему из 6 уравнений. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. Решается она следующим образом:

Это скриншот программы. Знак «равно» в уравнения должен быть жирным (вкладка «булевы», CTRL + “=/+”). MathCad может решать системы любого порядка (например, схема имеет 10 независимых контуров). Но, во-первых, функция “Given” не работает с комплексными числами (об этом позже), во-вторых, не всегда есть под рукой компьютер или условие задачи поставлено так, что требуется решить схему другим методом.

Данный метод решения задач называется методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Большинство студентов старших курсов (уже прослушавших курс ТОЭ), инженеров-электриков, даже преподавателей и докторов наук могут решать схемы только этим методом, т.к. другие методы применяются крайне редко.

Закон излучения Кирхгофа

Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.

В современной формулировке закон звучит следующим образом:

Известно, что при падении электромагнитного излучения на некоторое тело часть его отражается, часть поглощается и часть может пропускаться. Доля поглощаемого излучения на данной частоте называется поглощательной способностью тела . С другой стороны, каждое нагретое тело излучает энергию по некоторому закону, именуемому излучательной способностью тела .

Величины и могут сильно меняться при переходе от одного тела к другому, однако, согласно закону излучения Кирхгофа, отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела и является универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры:

По определению, абсолютно черное тело поглощает все падающее на него излучение, то есть для него . Поэтому функция совпадает с излучательной способностью абсолютно черного тела, описываемой формулой Планка, вследствие чего излучательная способность любого тела может быть найдена, исходя лишь из его поглощательной способности.

Реальные тела имеют поглощательную способность меньше единицы, а значит, и меньшую, чем у абсолютно черного тела, излучательную способность. Тела, поглощательная способность которых не зависит от частоты, называются серыми. Их спектр имеет такой же вид, как и у абсолютно черного тела. В общем же случае поглощательная способность тел зависит от частоты и температуры, и их спектр может существенно отличаться от спектра абсолютно черного тела. Изучение излучательной способности разных поверхностей впервые было проведено шотландским ученым Лесли при помощи его же изобретения — куба Лесли.

В теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты . В экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны . Обе функции связаны друг с другом формулой

В астрофизике закон Кирхгофа часто применяется в следующем виде:

где — коэффициент излучения (энергия, излучаемая единичным объемом в единичном интервале частот в единичный телесный угол за единицу времени); — коэффициент поглощения с учетом вынужденного испускания (, где — плотность вещества, а и — соответственно непрозрачность и эффективная длина пробега фотонов для частоты ); — интенсивность излучения абсолютно черного тела.

Закон Кирхгофа справедлив только для случаев теплового равновесия. Однако, его часто применяют и для неравновесных систем, когда излучение не находится в равновесии с веществом и его распределение по частотам существенно отличается от планковского. При этом часто (но не всегда) предположение о термодинамическом равновесии между частицами излучающего вещества оказывается хорошим приближением. Степень отклонения от закона Кирхгофа может служить мерой отличия излучения космических объектов от теплового.

Условно положительное направление — ток

Условно положительное направление токов в обмотках отмечено крестиками в начале витков и точками в конце. Этим направлениям токов по правилу буравчика соответствуют положительные направления осей магнитных потоков, которые совпадают с осями одноименных катушек. Магнитное поле такой системы обмоток с токами образуется наложением полей отдельных фаз.

Условно положительное направление токов в обмотках отмечено крестиками в начале витков и точками в конце. Этим условно положительным направлениям токов по правилу буравчика соответствуют условно положительные направления осей магнитных потоков, которые совпадают с осями одноименных катушек.

Условно положительным направлением тока считают направление движения положительных зарядов.

Выберем условно положительное направление тока i, как указано на схеме.

При выбранных условно положительных направлениях токов двух индуктивно связанных катушек величина коэффициента взаимной индукции М отрицательна.

Для установления такой связи выбирают условно положительное направление тока.

О) Почему при совпадающих условно положительных направлениях тока и напряжения на катушке индуктивности действительное направление напряжения будет определено правильно не только при увеличении, но и при уменьшении тока.

О) Какой смысл имеют принимаемые условно положительные направления токов и напряжений, если они, являясь в действительности синусоидальными функциями, изменяют свое направление с течением времени.

Схема образования плоского трехстержне-вого сердечника трехфазного трансформатора.

На рис. 12.27, а показаны условно положительные направления токов первичной обмотки и потоков в стержнях сердечника провода. Напомним, что положительные направления токов и соответствующих потоков связаны правилом буравчика.

Представление исходной схемы замещения электрической цепи, на которой указаны условно положительные направления токов и напряжений, в операторной форме.

К вопросу о преобраэо-вании схем с применением комп-i.

Для составления уравнения в символической форме по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно положительные направления токов. В уравнении (10.27) ток записывается со знаком плюс, если он направлен к узлу.

Прежде чем приступить к составлению уравнений по законам Кирхгофа, нужно выбрать условно положительное направление тока в каждой ветви. Положительные направления тока выбираются произвольно. Действительные направления — токов могут не совпадать с условно положительными направлениями. Ошибка в выборе направления тока в результате решения будет обнаружена: ток с неправильно выбранным направлением получится отрицательным. Следует изменить направление этого тока в схеме и считать его в дальнейшем положительным.

Источник: ledsshop.ru