Взаимодействие магнитов
Постоянные магниты – это тела, длительное время сохраняющие намагниченность, то есть создающие магнитное поле.
Основное свойство магнитов: притягивать тела из железа или его сплавов (например стали). Магниты бывают естественные (из магнитного железняка) и искусственные, представляющие собой намагниченные железные полосы. Области магнита, где его магнитные свойства выражены наиболее сильно, называют полюсами. У магнита два полюса: северный ( N ) и южный ( S ).
Важно!
Вне магнита магнитные линии выходят из северного полюса и входят в южный полюс. Разделить полюса магнита нельзя
Разделить полюса магнита нельзя.
Объяснил существование магнитного поля у постоянных магнитов Ампер. Согласно его гипотезе внутри молекул, из которых состоит магнит, циркулируют элементарные электрические токи. Если эти токи ориентированы определенным образом, то их действия складываются и тело проявляет магнитные свойства. Если эти токи расположены беспорядочно, то их действие взаимно компенсируется и тело не проявляет магнитных свойств.
Магниты взаимодействуют: одноименные магнитные полюса отталкиваются, разноименные – притягиваются.
Основные уравнения
Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в огромное множество уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, это пожалуй разве только чистая электростатика.
(Здесь формулы приведем в СИ, в виде для вакуума, где есть варианты для вакуума — для среды; запись в другом виде и подробности — см. по ссылкам).
В магнитостатике
В магнитостатическом пределе наиболее важными являются:
- Закон Био — Савара — Лапласа: играет в магнитостатике ту же роль, что закон Кулона в электростатике:
B→(r→)=μ4π∫L1I(r→1)dL1→×(r→−r→1)|r→−r→1|3,{displaystyle {vec {B}}left({vec {r}}right)={mu _{0} over 4pi }int limits _{L_{1}}{frac {Ileft({vec {r}}_{1}right){vec {dL_{1}}}times left({vec {r}}-{vec {r}}_{1}right)}{left|{vec {r}}-{vec {r}}_{1}right|^{3}}},}B→(r→)=μ4π∫j→(r→1)dV1×(r→−r→1)|r→−r→1|3,{displaystyle {vec {B}}left({vec {r}}right)={mu _{0} over 4pi }int {frac {{vec {j}}left({vec {r}}_{1}right)dV_{1}times left({vec {r}}-{vec {r}}_{1}right)}{left|{vec {r}}-{vec {r}}_{1}right|^{3}}},}
- Теорема Ампера о циркуляции магнитного поля:
∮∂SB→⋅dl→=μIS≡μ∫Sj→⋅dS→,{displaystyle oint limits _{partial S}{vec {B}}cdot {vec {dl}}=mu _{0}I_{S}equiv mu _{0}int limits _{S}{vec {j}}cdot {vec {dS}},}rotB→≡∇→×B→=μj→.{displaystyle mathrm {rot} ,{vec {B}}equiv {vec {nabla }}times {vec {B}}=mu _{0}{vec {j}}.}
В общем случае
Основные уравнения (классической) электродинамики общего случая (то есть независимо от ограничений магнитостатики), в которых участвует вектор магнитной индукции B→{displaystyle {vec {B}}}:
Три из четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики)
divE→=ρε, rotE→=−∂B→∂t{displaystyle mathrm {div} ,{vec {E}}={frac {rho }{varepsilon _{0}}}, mathrm {rot} ,{vec {E}}=-{frac {partial {vec {B}}}{partial t}}}divB→=, rotB→=μj→+1c2∂E→∂t{displaystyle mathrm {div} ,{vec {B}}=0, ,mathrm {rot} ,{vec {B}}=mu _{0}{vec {j}}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial {vec {E}}}{partial t}}}а именно:
Закон отсутствия монополя:
divB→=,{displaystyle mathrm {div} ,{vec {B}}=0,}
Закон электромагнитной индукции Фарадея:
rotE→=−∂B→∂t,{displaystyle mathrm {rot} ,{vec {E}}=-{frac {partial {vec {B}}}{partial t}},}
Закон Ампера — Максвелла:
rotB→=μj→+1c2∂E→∂t.{displaystyle mathrm {rot} ,{vec {B}}=mu _{0}{vec {j}}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial {vec {E}}}{partial t}}.}
Формула силы Лоренца:
F→=qE→+qv→×B→,{displaystyle {vec {F}}=q{vec {E}}+qleft,}Следствия из неё, такие как
Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током)
dF→=Idl→×B→,{displaystyle d{vec {F}}=left,}dF→=j→dV×B→,{displaystyle d{vec {F}}=left,}
выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь (виток с током, катушку или постоянный магнит):
M→=m→×B→,{displaystyle {vec {M}}={vec {m}}times {vec {B}},}
выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:
U=−m→⋅B→,{displaystyle U=-{vec {m}}cdot {vec {B}},}
- а также следующих из них выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле и т. д..
- Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:
F→=Kqmr→r3.{displaystyle {vec {F}}=K{frac {q_{m}{vec {r}}}{r^{3}}}.}
(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).
Выражение для плотности энергии магнитного поля
w=B22μ{displaystyle w={frac {B^{2}}{2mu _{0}}}}
Оно в свою очередь входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля и в лагранжиан электромагнитного поля и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).
Что такое однородное и неоднородное магнитное поле
Однородное магнитное поле — это магнитное поле, в любой точке которого сила действия на магнитную стрелку одинакова по модулю и направлению.
В однородном магнитном поле заряженная частица, движущаяся со скоростью ( overrightarrow v) перпендикулярно линиям индукции, подвергается воздействию силы (overrightarrow{F_л}), постоянной по модулю и направленной перпендикулярно вектору скорости (overrightarrow v). В таком поле магнитная индукция B во всех точках одинакова по модулю и направлению.
Благодаря силе Лоренца в однородном поле частицы движутся равномерно по окружности с центростремительным ускорением.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут
Сила Лоренца (overrightarrow{F_л}) — электромагнитная сила со стороны магнитного поля, действующая на движущийся заряд q:
(F=qE+qleft)
Неизменность по модулю центростремительного ускорения частицы, движущейся с постоянной по модулю скоростью, означает, что частица равномерно движется по окружности с радиусом r.
Радиус r окружности определяется как частное произведения массы m со скоростью v и произведения электрического заряда q с индукцией B.
Радиус траектории движения частицы с постоянной массой и ее скорость не влияют на период ее обращения в однородном поле.
В однородном магнитном поле максимальный вращающий момент (M_{max}) при воздействии замкнутых проводников, изготовленных из очень тонкой проволоки разных размеров и форм, с током приобретает свойства:
- Он пропорционален силе тока в контуре I.
- Пропорционален площади контура.
- Для контуров с одинаковой площадью не зависит от их формы.
Таким образом, максимальный вращающий момент становится пропорциональным магнитному моменту (P_{m}) контура с током:
(P_m=Iast S.)
Величина магнитного момента (P_{m}) характеризует действие магнитного поля на плоский контур с током.
В данном случае значение вращающего момента (M_{max}), действующего на контур с магнитным моментом (P_{m}), принимают равным единице.
Следовательно, формула для определения индукции B в однородном магнитном поле приобретает вид:
(B=frac{M_{max}}{P_m}.)
Примеры однородных магнитных полей:
- Магнитное поле внутри соленоида. Соленоид — длинная цилиндрическая катушка, состоящая из нескольких витков плотно намотанной по винтовой лестнице проволоки. Каждый виток создает свое магнитное поле, которое складывается с другими в общее поле. Оно является однородным при условии, что длина катушки значительно превосходит ее диаметр. Тогда внутри соленоида линии поля будут параллельными его оси и прямыми.
- Магнитное поле внутри тороидальной катушки. Здесь линии замыкаются внутри самой катушки. Представлены в виде окружностей, параллельных оси тора. Токи в обмотке тороидальной катушки текут равномерно по часовой стрелке.
Неоднородное магнитное поле — это магнитное поле, в котором сила, действующая на помещенную в это поле магнитную стрелку, в разных точках поля может быть различной как по модулю, так и по направлению.
В неоднородном магнитном поле магнитная индукция в разных местах имеет различные модули и направления. Для вычисления значения вектора (overrightarrow B) в неоднородном поле необходимо определить вращающий момент, действующий на него. Для этого в некую точку помещают контур размеров, меньших в сравнении с расстояниями, на которых поле заметно меняется.
Примеры неоднородных магнитных полей:
- Снаружи соленоида. Линии на концах катушки соленоида не являются параллельными друг другу и тянутся от одного конца к другому. А снаружи вблизи боковой поверхности катушки поле практически отсутствует.
- Снаружи полосового магнита. Магнитное поле полосового магнита подобно полю вокруг соленоида. Магнитные линии тянутся от одного конца магнита к другому по направлению от северного полюса к южному. Имеется нейтральная зона.
Отличия однородного и неоднородного магнитных полей
- Однородное поле находится внутри проводника или магнита, неоднородное — снаружи.
- В однородном поле сила, действующая в разных точках, одинакова. В неоднородном — различна.
- Линии однородного магнитного поля являются одинаковыми по густоте и параллельными друг другу. В неоднородном поле линии отличаются по густоте и искривлены.
- Линии магнитной индукции однородного поля находятся на равном расстоянии друг от друга.
Сила Лоренца
Сила Лоренца – сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.
Формула для нахождения силы Лоренца:
где ( q ) – заряд частицы, ( v ) – скорость частицы, ( B ) – модуль вектора магнитной индукции, ( alpha ) – угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции.
Направление силы Лоренца определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции ( B_perp ) входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Лоренца.
Если заряд частицы отрицательный, то направление силы изменяется на противоположное.
Важно!
Если вектор скорости сонаправлен с вектором магнитной индукции, то частица движется равномерно и прямолинейно. В однородном магнитном поле сила Лоренца искривляет траекторию движения частицы
В однородном магнитном поле сила Лоренца искривляет траекторию движения частицы.
Если вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, то частица движется по окружности, радиус которой равен:
где ( m ) – масса частицы, ( v ) – скорость частицы, ( B ) – модуль вектора магнитной индукции, ( q ) – заряд частицы.
В этом случае сила Лоренца играет роль центростремительной и ее работа равна нулю. Период (частота) обращения частицы не зависит от радиуса окружности и скорости частицы. Формула для вычисления периода обращения частицы:
Угловая скорость движения заряженной частицы:
Важно!
Сила Лоренца не меняет кинетическую энергию частицы и модуль ее скорости. Под действием силы Лоренца изменяется направление скорости частицы
Если вектор скорости направлен под углом ( alpha ) (0° < ( alpha ) < 90°) к вектору магнитной индукции, то частица движется по винтовой линии.
В этом случае вектор скорости частицы можно представить как сумму двух векторов скорости, один из которых, ( vec{v}_2 ), параллелен вектору ( vec{B} ), а другой, ( vec{v}_1 ), – перпендикулярен ему. Вектор ( vec{v}_1 ) не меняется ни по модулю, ни по направлению. Вектор ( vec{v}_2 ) меняется по направлению. Сила Лоренца будет сообщать движущейся частице ускорение, перпендикулярное вектору скорости ( vec{v}_1 ). Частица будет двигаться по окружности. Период обращения частицы по окружности – ( T ).
Таким образом, на равномерное движение вдоль линии индукции будет накладываться движение по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору ( vec{B} ). Частица движется по винтовой линии с шагом ( h=v_2T ).
Важно!
Если частица движется в электрическом и магнитном полях, то полная сила Лоренца равна:
Особенности движения заряженной частицы в магнитном поле используются в масс-спектрометрах – устройствах для измерения масс заряженных частиц; ускорителях частиц; для термоизоляции плазмы в установках «Токамак».
Алгоритм решения задач о действии магнитного (и электрического) поля на заряженные частицы:
- сделать чертеж, указать на нем силовые линии магнитного (и электрического) поля, нарисовать вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда;
- изобразить силы, действующие на заряженную частицу;
- определить вид траектории частицы;
- разложить силы, действующие на заряженную частицу, вдоль направления магнитного поля и по направлению, ему перпендикулярному;
- составить основное уравнение динамики материальной точки по каждому из направлений разложения сил;
- выразить силы через величины, от которых они зависят;
- решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
- решение проверить.
Вопросы на тему «Магнитное поле»
Вопрос 1. Что такое магнитное поле?
Ответ. Магнитное поле — это особый вид материи, проявляющий себя действием на движущиеся электрические заряды (токи) и тела, обладающие магнитным моментом.
Вопрос 2. Как возникает магнитное поле?
Ответ. Магнитное поле порождается движущимися зарядами и постоянными магнитами.
Почитайте в нашем блоге отдельную статью про магнитное поле Земли.
Вопрос 3. Как магнитное поле проявляет себя?
Ответ. Магнитное поле действует на движущиеся заряды с определенной силой, называемой силой Лоренца.
Вопрос 4. По какой траектории будет двигаться заряд, влетая в магнитное поле?
Ответ. Когда движущийся заряд попадает в магнитное поле, на него начинает действовать сила Лоренца, выполняющая роль центростремительной силы. Таким образом, заряд будет двигаться по окружности.
Вопрос 5. Как магнитное поле изображают графически?
Ответ. Магнитное поле изображают с помощью силовых линий.
Проблемы с решением задач? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис в любое время!
Магнитное поле: задачи с решением
Как решать задачи на тему «Магнитное поле»? Так же, как и все остальные. Специально для вас мы подготовили общую памятку по решению физических задач и собрали воедино полезные формулы по всем темам. Пользуйтесь и не благодарите!
Задача на магнитное поле №1
Условие
Какова магнитная индукция в центре кругового проводника радиусом 20 см, если сила тока в проводнике равна 4 A. Проводник находится в вакууме.
Решение
Это задача на закон Био-Савара Лапласа. Согласно этому закону, магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется по формуле:
B=μμI2r
Подставим значения и вычислим:
B=1·1,25·10-6·4,22=125 мкТл
Ответ: 125 мкТл.
Задача на магнитное поле №2
Условие
Через контур проводника сопротивлением 0,06 Ом проходит магнитный поток, который за 4 секунды изменился на 0,012 Вб. Найдите силу тока в проводнике, если изменение потока происходит равномерно.
Решение
Это задача на закон электромагнитной индукции. В данном случае силу тока можно выразить через закон Ома:
I=εiR
ЭДС самоиндукции, по закону Фарадея:
εi=-∆Ф∆t
Подставляем выражение для ЭДС в формулу для силы тока, и вычисляем:
I=-∆Ф∆t1R=,012·14·,06=,05 А
Ответ: 0,05 А.
Задача на магнитное поле №3
Условие
Заряд 0,004 Кл, движется в магнитном поле с индукцией 0,5 Тл со скоростью 140 м/с под углом 45 градусов к вектору магнитной индукции. Какая сила действует на заряд?
Решение
Это задача на нахождение силы Лоренца, т.е. силы, с которой магнитное поле действует на движущийся электрический заряд. По определению, сила Лоренца равна:
F=qvB·sinα
Подставим значения и вычислим:
F=,004·140·,5·22=,19 Н
Ответ: 0,19 Н.
Задача на магнитное поле №4
Условие
Соленоид длиной l=0,4 м содержит 800 витков, сопротивление его обмоток равно 120 Ом, а напряжение на концах обмотки равно 60В. Какова магнитная индукция поля внутри соленоида?
Решение
Это задача на теорему о циркуляции магнитного поля. Согласно этой теореме:
∮Bdl=μ∑iIiBl=μIN
Силу тока найдем из закона Ома:
I=UR
Теперь выразим индукцию и рассчитаем:
B=μINl=μUNRl=1,25·10-6·40·800120·,4=833 мкТл
Ответ: 833 мкТл.
Задача на магнитное поле №5
Условие
С какой силой однородное магнитное поле действует на проводник длиной 10 см, если сила тока в нем 150 мА. Проводник расположен под углом 45 градусов к вектору магнитной индукции. Магнитная индукция составляет 0,4 Тл.
Решение
Это задача на нахождение силы Ампера, то есть силы, с которой магнитное поле действует на проводник с током. По определению, сила Ампера равна:
F=IBlsinα
Подставим значения, и вычислим:
F=150·,4·,1·22=4,5 Н
Ответ: 4,5 Н.
Нужно больше задач? В нашем блоге есть целая подборка по разным темам:
- Задачи на силу Лоренца.
- Задачи на циркуляцию магнитного поля.
- Задачи на закон Био-Савара-Лапласа.
- Задачи на закон Фарадея.
Источник: