Метод узловых токов примеры решения задач

Метод узловых (потенциалов) напряжений

ТОЭ › Методы расчета цепей постоянного тока

При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.

Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие. В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.

Важно отличать метод узловых напряжений (потенциалов) от метода узлового напряжения (метод двух узлов)

Метод узловых потенциалов примеры решения задач

Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.

Рис.1. Схема постоянного тока

Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.

Какой именно узел заземлять, значения не имеет. Заземлим, например, узел 4 φ4 = 0.

Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ1, φ2, φ3. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.

В общем виде система имеет вид:

Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения

имеют следующий смысл:

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:

Аналогично находятся и остальные проводимости:

J11 – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае

Аналогично

В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:

Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:

В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:

Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.

В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что

Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.

Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.

Рис.2. Моделирование в Multisim

Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.

Метод узловых (потенциалов) напряжений

ТОЭ › Методы расчета цепей постоянного тока

При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.

Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие. В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.

Важно отличать метод узловых напряжений (потенциалов) от метода узлового напряжения (метод двух узлов)

Метод узловых потенциалов примеры решения задач

Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.

Рис.1. Схема постоянного тока

Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.

Какой именно узел заземлять, значения не имеет. Заземлим, например, узел 4 φ4 = 0.

Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ1, φ2, φ3. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.

В общем виде система имеет вид:

Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения

имеют следующий смысл:

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:

Аналогично находятся и остальные проводимости:

J11 – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае

Аналогично

В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:

Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:

В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:

Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.

В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что

Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.

Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.

Рис.2. Моделирование в Multisim

Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.

Задача Расчет электрической цепи постоянного тока

Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985

Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока

Для электрической схемы, изображенной на рисунке, по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность решения, применив метод узлового напряжения. Предварительно упростить схему, заменив треугольник сопротивления R4, R5 и R6 эквивалентной звездой. Начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи;

4) определить ток в резисторе R6методом эквивалентного генератора;

5) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;

6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Источник

1.6. Баланс мощностей

∑EI = ∑I2R (5)

Мощность, генерируемая источниками:

EI = E1I1+E2I2 = 32·1,05+25·0,56= 33,6+14= 47,6 Вт.

При расчете мощности источников необходимо учитывать, что если направления э.д.с. и тока совпадают, то источник генерирует мощность (записываем ее со знаком «плюс»), если направления э.д.с. и тока противоположны, то источник работает в режиме потребления мощности (записываем мощность со знаком «минус»).

Мощность, потребляемая элементами схемы:

I2R =1,052·7+0,562·5+0,8642·8+0,7462·6+0,1862·13 +1,612·11 = 7,72+1,57+5,96+3,35+0,45+28,5=46,55 Вт.

Расхождение в результатах вычислений не превосхо­дит 2,2%.

Не знаете как решить или выполнить курсовую или дипломную?

Заказать решение

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

1.5 Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала вдоль замкнутого контура.

Отложим по оси абсцисс (рис.2.6) все сопротивления контура dnambcd (рис.1), двигаясь от точки d, потенциал которой принят равным нулю. Перемещаясь вдоль этого контура, подсчитаем потенциалы всех точек. Пройдя сопротивление R2 и двигаясь навстречу току I2 (от меньшего потенциала к большему), попадаем в точку n, потенциал которой равен:

Потенциал следующей точки абудет меньше φп на вели­чину э.д.с. E2 :

φа = φn— Е2= 2,825 = – 22,2 В.

Так как между точками п и аникакого сопротивления нет, то их абсциссы будут одинаковы.

Потенциалы остальных точек определятся аналогично:

φm = φa – I1R1 = – 22,2 – 1,05·7 = – 29,55 В;

φB = φm + E1 = – 29,55 +32 = 2,45 В;

φc = φB + I3R3 = – 2,45 + ( – 0,864) ·8 = – 4,462 В;

φd = φc + I4R4 = 4,462 + 0,746·6 ≈ 0

Значения потенциалов узлов с достаточной точностью сов­падают с найденными по методу узловых потенциалов.

Рис.2.6 – Потенциальная диаграмма

1.2 Метод контурных токов

1. Вводим понятие фиктивных контурных токов: I11, I22, I33 и выбираем произвольно направление каждого из них. На рисунке 1 все контурные токи направлены по часовой стрелке. Значения контурных токов должны быть равны по абсолютной величине значениям токов в несмежных ветвях, т. е.

I11 = I1 I22= – I3 I33 = I6

Тогда токи во всех ветвях схемы определятся из выраже­ний (1):

I1= I11; I2 = I6-I11 = I33-I11; I3 = – I22;

I4 = I3+I6 = I33-I22;I5 = I1+I3 = I11-I22; I6 = I33

аким образом, при использовании метода контурных то­ков уравнения, составленные по 1-му закону Кирхгофа, обра­щаются в тождества, т. е. этот закон удовлетворяется при любых значениях контурных токов. Значит, для решения за­дачи этим методом достаточно уравнений, составленных по 2-му закону Кирхгофа.

2. Составляем уравнения по 2-му закону Кирхгофа для контурных токов. Для этого подставим в первое из уравнений (2) значения токов в ветвях, приведенные в уравнениях (3):

I11R1 + (I11 – I22) R5 – (I33 – I11) R2 = E1 – E2.

Перегруппировав слагаемые в этом выражении и сделав соответствующие преобразования с остальными уравнениями системы (2), получим уравнения для метода контурных токов:

I11 (R1 + R5 + R2) – I22R5 – I33R2 = E1 – E2,

I22 (R3 + R5 + R4) – I11R5 – I33R4 = 0,

I33 (R2 + R4 + R6) – I11R2 – I22R4 = E2.

Подставляя заданные числовые значения э. д. с. и сопро­тивлений, получим:

I11 ·25 – I22·13 – I33·5 = 7,

-I11·13 + I22·27 – I33·6 = 0;

-I11·5 – I22·6 + I33·22 = 25

Совместное решение этих уравнений дает следующие значения контурных токов:

I11 = 1,05 А; I22 = 0,864 A; I33 = 1,64 A.

Значения токов в ветвях определяем из выражений (3):

I1 = I11 = 1,05 А; I22 = I33 – I11 = 0,56 A; I3 = I22 = – 0.864 A;

I4 = I33 – I22 = 0,746 A; I5 = I11 – I22 = 0,186 A; I6 = I33 = 1,61 A.

Знак минус перед током I3 показывает, что действительное его направление противоположно выбранному. Метод контур­ных токов позволяет уменьшить число уравнений, необходи­мых для решения задачи, до числа независимых контуров.

1.3 Метод узловых потенциалов

При известных потенциалах отдельных узлов ток в каждой ветви можно определить по закону Ома:

(4)

Из этих соотношений видно, что токи в ветвях зависят от раз­ностей потенциалов узлов, к которым эти ветви подсоедине­ны. Это позволяет задать потенциалу одного из узлов любое числовое значение.

Порядок расчета рассматриваемой цепи методом узловых потенциалов следующий.

Полагаем потенциал какого-либо одного узла схемы (например, узла d) равным нулю: φd = 0.

Для всех остальных узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа (система уравнений (1)), выразив значения токов из формул (4). В этом случае уравнение для узла «а» примет вид:

(φc – φa)G6 – (E1+ φa – φb)G1 – (E2 + φa)G2 = 0.

Сгруппировав отдельно слагаемые, содержащие э. д. с. и не содержащие их, и проделав такие же преобразования с остальными уравнениями системы (1), получим уравнения для метода узловых потенциалов:

Обратите внимание на смысл написанных уравнений. Сумма токов, оттекающих от данного узла под влиянием его потенциала, равна сумме токов, притекающих к этому узлу под влиянием потенциалов соседних узлов и под влиянием э

д. с. Поэтому э.д.c., направленные к узлу, для которого составляется уравнение, записываются со знаком плюс, а э. д. с., направленные от этого узла, — со знаком минус.

Определим численные значения проводимостей и под­ставим их в последнюю систему уравнений:

Совместное решение этих уравнений дает следующие зна­чения узловых потенциалов:

φа = — 22,1В; φв = 2,4В; φс = = — 4,5В.

Тогда по уравнениям (4) определяем токи в ветвях:

I1 = 1,07 A; I2 = 0,58 A; I3 = – 0,86 A; I4 = 0,751;

I5 = 0,185 A; I6 = 1,6 A.

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число уравнений, необходимых для решения задачи, до числа узлов без единицы.

Сравним результаты расчетов обоими методами.

Таблица 2 – Результаты расчета токов в ветвях схемы

Токи, А I1 I2 I3 I4 I5 I6
Метод контурных токов 1,05 0,56 -0,864 0,746 0,186 1,61
Метод узловых потенциалов 1,07 0,58 -0,854 0,751 0,185 1,60

Результаты совпадают с достаточной точ­ностью.

Переменный ток.

Переменный синусоидальный ток (или напряжение) задается уравнением: Здесь Im – амплитуда тока. ω – угловая частота, находится как ω = 2⋅π⋅f (обычно в условии задается либо f, либо ω) φ – фаза.

Обычно в задачах условия задают либо в таком формате, либо в действующем значении. Амплитудное больше действующего всегда в √2 раз. Если в условии задано просто значение (например, E1 = 220 В), то это значит, что дано действующее значение.

Если же в условии дано «250⋅sin(314t – 15°), В», то его нужно перевести в действующее комплексное значение.

Про комплексные числа можно подробнее прочитать на нашем сайте.

Для перевода величин к действующим необходимо: ,

Точечка над I означает, что это комплекс.

Чтобы не путать с током, в электротехнике комплексная единица обозначается буквой «j».

Для заданного напряжения имеем:

В решении задач обычно оперируют действующими значениями.

В переменном токе вводятся новые элементы:

Катушка индуктивности L –
Конденсатор С –

Их сопротивления (реактивные сопротивления) находятся как: (сопротивление конденсатора — отрицательное)

Например, имеем схему, она подключена на напряжение 200 В, имеющего частоту 100 Гц. Требуется найти ток. Параметры элементов заданы:

Чтоб найти ток, необходимо напряжение разделить на сопротивление (из закона Ома). Здесь основная задача – найти сопротивление. Комплексное сопротивление находится как:

Напряжение делим на сопротивление и получаем ток.

Все эти действия удобно проводить в MathCad. Комплексная единица ставится «1i» или «1j». Если нет возможности, то:

  1. Деление удобно производить в показательной форме.
  2. Сложение и вычитание – в алгебраической.
  3. Умножение – в любой (оба числа в одинаковой форме).

Также, скажем пару слов о мощности. Мощность есть произведение тока и напряжения для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока вводится еще один параметр – угол сдвига фаз (вернее его косинус) между напряжением и током.

Предположим, для предыдущей цепи нашли ток и напряжение (в комплексной форме).

Также мощность можно найти и по другой формуле:

В этой формуле — сопряженный комплекс тока. Сопряженный – значит, что его мнимая часть (та, что с j) меняет свой знак на противоположный (минус/плюс). Re – означает действительная часть (та, что без j).

Это были формулы для активной (полезной) мощности. В цепях переменного тока существует так же и реактивная мощность (генерируется конденсаторами, потребляется – катушками).

Реактивная мощность цепи:

Im – мнимая часть комплексного числа (та, что с j).

Зная реактивную и активную мощность можно подсчитать полную мощность цепи:

Для упрощенного расчета цепей постоянного и переменного тока, содержащих большое число ветвей, пользуются одним из упрощенных методов анализа цепей. Рассмотрим подробнее метод контурных токов.

Основные понятия

Рассмотрим пример. В заданной схеме, см.

Токи в резисторах В данном случае удобно проверить задачу с помощью первого закона Кирхгофа, согласно которому сумма токов сходящихся, в узле равна нулю. Выполняем все поэтапно.

В табл. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно. Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия тиристоры, транзисторы и другие.

Пусть, например, задана величина приложенного к току напряжения U и требуется определить ток в цепи и распределение напряжений на ее участках. Последовательное соединение нелинейных элементов. Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия тиристоры, транзисторы и другие.

Примеры решения задач на законы Кирхгофа

В схеме рис. После проведенных преобразований рис.

Приступаем к основному этапу — составлению системы уравнений контурных токов. Про комплексные числа можно подробнее прочитать на нашем сайте. Определим параметры электрической цепи рис. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Но с помощью закона Кирхгофа удобно проверять простые цепи, имеющие один контур.

Система уравнений 4. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. Запишем уравнения:: 4. В этом случае ток в нагрузке становится равным нулю, и как следует из соотношения 1. КАК ТЕЧЁТ ТОК В СХЕМЕ — Читаем Электрические Схемы 1 часть

Переменный ток.

В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.

Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения. Работа активного двухполюсника под нагрузкой в номинальном режиме определяется уравнением 1.

Определим параметры электрической цепи рис. Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые — семейство характеристик.

Определить ток I1 в заданной по условию схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений.

Читайте дополнительно: Нормы прокладки кабеля под землей

АГЗ МЧС РГР №1 Расчёт линейных цепей постоянного тока

Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Определим параметры электрической цепи рис. Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений.

Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Режим работы электрической цепи рис. Переменный синусоидальный ток или напряжение задается уравнением: Здесь Im — амплитуда тока. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.

Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

Эта вольт-амперная характеристика строится по двум точкам 1 и 2 рис. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Следовательно, схема источника тока рис. Вычислим коэффициент подобия.

Составить баланс мощностей в исходной схеме схеме с источником тока , вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок сопротивлений. Рекомендуется узлы схемы a, b, c, d заменить на 1, 2, 3, 4 соответственно. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке.
Законы Кирхгофа — Теория и задача

4.5. Метод эквивалентного генератора

    Этот метод используется тогда, когда
надо определить ток только в одной ветви сложной схемы. Чтобы разобраться
с методом эквивалентного генератора, ознакомимся сначала с понятием «двухполюсник».
Часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами называется двухполюсником.
Двухполюсники, содержащие источники энергии, называются активными. На рис. 4.5
показано условное обозначение активного двухполюсника. Двухполюсники, не
содержащие источников, называются пассивными. На эквивалентной схеме пассивный
двухполюсник может быть заменен одним элементом — внутренним или входным сопротивлением
пассивного двухполюсника Rвх. На рис. 4.6 условно изображен пассивный двухполюсник
и его эквивалентная схема.

 
      Рис. 4.5 Рис. 4.6

Оптимизированная процедура составления системы

По упрощенной методике поступают следующим образом:

  • В уравнениях в левой части записывают произведение суммы всех входящих в контур сопротивлений на контурный ток;
  • От полученного выражения вычитаются умноженные на сумму сопротивлений общей ветви соседние контурные токи;
  • Справа записывается сумма источников ЭДС контура.

Формальный подход

Формальный подход предполагает матричную форму записи системы уравнений. Для расчетов исходные данные записывают в матричной форме. Используются такие матрицы:

  • C – в которой i строк, соответствующих количеству контуров, и j столбцов по количеству ветвей;
  • Z – диагональная матрица сопротивлений, количество строк и столбцов которой соответствуют числу веток;
  • Ct – транспонированная матрица С;
  • I – матрица контурных величин;
  • J – матрица источников тока;
  • Е – матрица ЭДС.

При составлении матрицы С каждый элемент Сij

  • 0, если ветвь j не входит в контур;
  • -1, если ветвь входит в контур, направление тока противоположно контурному;
  • 1 – то же самое, но направление тока совпадает с контурным.

В матрице Z диагональные элементы равняются сопротивлению участков, остальные приравниваются нулю.

Итоговая формула для расчетов имеет вид:

C∙Z∙Ct∙I=C(Z∙J+E).

Такая форма записи решения в матричной форме показывает, каким образом выполняются действия над составленными матрицами.

Пример системы уравнений

Ниже рассмотрен пример расчета конкретной схемы без учета номиналов элементов.

Пример решения

В заданной цепи выделяют три контура. Как выразить токи в ветвях через контурные:

  • i1=I1;
  • i2=I2;
  • i3=I3;
  • i4=I2+I3;
  • i5=I1+I2;
  • i6=I1-I3.

Как составить систему уравнений:

  • i1R1+i5R5+i6R6=E1;
  • i2R2+i4R4+i5R5=E2;
  • i3R3+i4R4-i6R6=0

Как подставить контурные значения

  • I1R1+( I1+I2)R5+( I1-I3)R6=E1;
  • I2R2+( I2+I3)R4+( I1+I2)R5=E2;
  • I3R3+( I2+I3)R4-( I1-I3)R6=0

После преобразования получается необходимая система уравнений:

  • (R1+R5+R6)I1+R5I2+R6I3=E1;
  • R5I1+(R2+R4+R5)I2+R4I3=E2;
  • -R6I1+R4I2+(R3+R4+R6)I3=0.

Система из трех уравнений легко решается после подстановки известных параметров. Из полученных значений контурных токов затем можно найти искомые величины.

Данный пример решения задач по методу контурных токов показывает, что любую достаточно сложную схему можно существенно упростить для решения, руководствуясь указаниями.

Важно! Метод неприменим, если нет возможности преобразовать цепь без взаимного пересечения ветвей. В некоторых случаях упростить схему можно путем преобразования ветвей, соединенных по схеме «звезда» в треугольник

В некоторых случаях упростить схему можно путем преобразования ветвей, соединенных по схеме «звезда» в треугольник.

Точно такие же результаты получаются при использовании метода узловых потенциалов. В основе расчетов – поиск потенциала каждого узла (так называемый узловой потенциал). Существуют программы, позволяющие произвести онлайн расчет параметров по рассмотренным методам.

Источник: ledsshop.ru

Стиль жизни - Здоровье!