Заказать решение ТОЭ
- Метрология Электрические измерения
- Пигарев А.Ю. РГЗ по электротехнике и электронике в Multisim
- Теория линейных электрических цепей ТЛЭЦ
- —
Теория линейных электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и связи: задание на контрольные работы № 1 и 2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте- —
Контрольная работа №1 - —
Контрольная работа №2
- —
- —
- Электротехника и основы электроники
- —
Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985. – 128 с, ил- —
Контрольная работа № 1 Электрические цепи - —
Контрольная работа № 2 Трансформаторы и электрические машины - —
Контрольная работа № 3 Основы электроники
- —
- —
- Теоретические основы электротехники ТОЭ
- —
Артеменко Ю.П., Сапожникова Н.М. Теоретические основы электротехники: Пособие по выполнению курсовой работы МГТУ ГА 2009 - —
Переходные процессы Переходные процессы в электрических цепях - —
Теоретические основы электротехники Методические указания и контрольные задания для студентов технических специальностей вузов- —
Задание 1 Линейные электрические цепи постоянного и синусоидального тока- —
Задача 1.1 Линейные электрические цепи постоянного тока - —
Задача 1.2 Линейные электрические цепи синусоидального тока
- —
- —
Задание 2 Четырехполюсники, трехфазные цепи, периодические несинусоидальные токи, электрические фильтры, цепи с управляемыми источниками
- —
- —
Теоретические основы электротехники сб. заданий Р.Я. Сулейманов Т.А. Никитина Екатеринбург УрГУПС 2010 - —
Трехфазные цепи. Расчет трехфазных цепей - —
УГТУ-УПИ Решение ТОЭ Билеты по ТОЭ - —
Электромагнитное поле Электростатическое поле Электростатическое поле постоянного тока в проводящей среде Магнитное поле постоянного тока
- —
4.3. Переходные процессы в RC-цепях
Переходные процессы в цепи рис. 4.2 будут возникать при установке ключа К в положение 1 (нулевые начальные условия) или 2 (ненулевые начальные условия).
Рис. 4.2. RC-цепь а) и переходные процессы в ней б) и в).
Переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях. Рассмотрим случай, когда на входе цепи действует постоянное напряжение, т.е. u(t) = U.
В момент t = 0 замкнем ключ К в положение 1 и подключим постоянное напряжение к цепи.
Под действием напряжения U в цепи будет протекать ток i, который создает на резисторе R падение напряжения и заряжает емкость C. На основании второго закона Кирхгофа можно записать
Решение этого уравнения будем искать в форме суммы общего и частного решений, которые определяют свободную и принужденную составляющие:
Для определения свободной составляющей необходимо найти решение однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.16) приU = 0 и имеет вид:
Общее решение уравнения (4.18) определяется выражением
, (4.19)
где А – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения, полученного из (4.18) RCp + 1 = 0, откуда p = -1/RC = -1/τ, тогда (4.19) примет вид
, (4.20)
где τ = RC – постоянная времени цепи.
В установившемся режиме (после заряда конденсатора) напряжение на конденсаторе будет равно приложенному ко входу цепи напряжению, т.е. принужденная составляющая определяется уравнением:
. (4.21)
Подставляя (4.20) и (4.21) в (4.17)будем иметь
Учитывая, что в момент коммутации t = 0 и uC = 0 из (4.22) находим постоянную интегрирования А = -U, тогда (4.20)примет вид:
. (4.23)
Подставляя (4.21) и (4.23) в (4.17) получаем выражение, которое определяет как изменяется напряжение на выходе RC-цепи при подключении к ее входу источника постоянного напряжения
Учитывая (4.24)находим выражение, определяющее изменение тока в цепи
Графики изменения напряжения (4.24) и тока (4.25), поясняющие переходной процесс в RC-цепи при заряде емкости изображены на рис. 4.2,б.
Из графиков видно, что в момент подключения к RC-цепи источника постоянного напряжения ток в цепи достигает максимального значения, а напряжение на конденсаторе равно нулю , т.е. емкость ведет себя как короткозамкнутый участок цепи.
С увеличением времени ток уменьшается а напряжение на емкости увеличивается по экспоненциальному закону. Приt = 0 ток становится равным нулю, а uC = U, т.е. емкость эквивалентна разрыву цепи для постоянного тока.
Рассмотрим переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях, когда к входу цепи подключается гармоническое воздействие. В этом случае принужденная составляющая будет иметь вид:
где
Учитывая (4.20) и (4.26) находим
- Постоянную интегрирования А определим исходя из начальных условий, что при t = 0 uC = 0, тогда
- .
- Подставляя А в (4.28) находим выражение, определяющее изменение UC при подключении к RC-цепи гармонического воздействия
. (4.29)
Ток в цепи определяется выражением
Из выражения (4.29) видно, что при подключении к RC-цепи с большой постоянной времени τ гармонического воздействия в момент, когда φu = π – φ в цепи могут возникнуть перенапряжения достигающие величины UCmax ≈ 2UmC. Если к цепи подключается гармоническое воздействие, когда φu = π/2 – φ, то в цепи нет переходного процесса и сразу наступает установившийся режим.
Переходной процесс в RC-цепи при ненулевых начальных условиях. Переведем ключ К в цепи рис. 4.2 в положение 2. При этом произойдет отключение цепи от источника входного воздействия и емкость будет подключена к резисторуR.
К моменту коммутации емкость была заряжена до напряжения U и в ней была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации емкость начинает разряжаться и энергия расходуется на резисторе R. Переходной процесс, т.е. процесс разряда емкости, определяется уравнением
. (4.30)
Решением уравнения (4.30) является выражение (4.20)
. (4.31)
Постоянную интегрирования А находим из начальных условий, т.е. при t = 0 uC = U, тогда из (4.31) определяем А = U. Подставляя значение А = U в (4.31) находим выражение, определяющее изменение напряжения в RC-цепи при разряде емкости через резистор
. (4.32)
Ток в цепи изменяется в соответствии с выражением
. (4.33)
Графики изменения uC и i приведены на рис. 4.2,в.
Из графиков рис. 4.2,в и выражений (4.32) и (4.33) видно, что в начале разряда емкости (t = 0) ток в цепи и напряжение на емкости имеют максимальные значения uC = U, i = -U/R.
С увеличением времени разряда напряжение на емкости и ток в цепи стремятся к нулю по экспоненциальному закону, т.е. в цепи имеет место переходной процесс. Длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепиτ, который заканчивается через время t ≈ 3τ.
Вся энергия, запасенная в конденсаторе, за время разряда преобразуется в резисторе R в тепло.
Постоянная времени электрической цепи — что это такое и где используется
Природе свойственны периодические процессы: день сменяет ночь, теплое время года сменяется холодным и т. д. Период этих событий почти постоянен и поэтому может быть строго определен. Кроме того, мы вправе утверждать, что приведенные в качестве примера периодические природные процессы не являются затухающими, по крайней мере по отношению к продолжительности жизни одного человека.
Однако в технике, а в электротехнике и в электронике — особенно, далеко не все процессы являются периодическими и незатухающими. Обычно какой-нибудь электромагнитный процесс сначала возрастает, а затем убывает. Часто дело ограничивается лишь фазой начала колебания, которое так и не успевает толком набрать размах.
Сплошь и рядом в электротехнике можно встретить так называемые экспоненциальные переходные процессы, суть которых заключается в том, что система просто стремится придти к какому-то равновесному состоянию, которое в конце концов выглядит как состояние покоя. Такой переходный процесс может быть как нарастающим, так и спадающим.
Внешняя сила сначала выводят динамическую систему из состояния равновесия, а затем не препятствует естественному возврату данной системы к ее исходному состоянию. Эта последняя фаза и есть так называемый переходный процесс, которому свойственна определенная длительность. Кроме того процесс выведения системы из равновесия также является переходным процессом с характерной длительностью.
Так или иначе, постоянной времени переходного процесса мы называем его временную характеристику, определяющую время, через которое некоторый параметр данного процесса изменится в «е» раз, то есть увеличится или уменьшится примерно в 2,718 раз по сравнению с состоянием, принятым за исходное.
Рассмотрим для примера электрическую цепь, состоящую из источника постоянного напряжения, конденсатора и резистора. Подобного рода цепь, где резистор включен последовательно с конденсатором, называется интегрирующей RC-цепью.
Если в начальный момент времени подать на такую цепь питание, то есть установить на входе некоторое постоянное напряжение Uвх, то Uвых — напряжение на конденсаторе, начнет по экспоненте нарастать.
Через время t1 напряжение на конденсаторе достигнет 63,2% от напряжения на входе. Так вот, промежуток времени от начального момента до t1 – это и будет постоянная времени данной RC-цепи.
Данную константу цепи называют «тау», она измеряется в секундах, а обозначают ее соответствующей греческой буквой. Численно для RC-цепи она равна R*C, где R выражается в омах, а С — в фарадах.
1.3 Операторный метод анализа переходных процессов
Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым.
В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:
,
где f(t) – однозначная функция времени, называемая оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым изображением.
RC-цепи, 5 самых ходовых схем фильтров и их простой рассчет
RC-цепь, такое частое явление радиоэлектроники. Такие фильтры стоят повсюду. Понимание того, как какой фильтр влияет на форму АЧХ сигнала во многом определяет правильность чтения всей электронной схемы. В статье собраны 5 основных RC-фильтров, приведены их АЧХ и упрощенные формулы расчета.
В ранние годы развития радиоэлектроники для воздействие на Амплитудно — Частотную Характеристику (АЧХ) сигнала в основном применялись LC — фильтры, т.е. фильтры состоящие из катушки индуктивности и конденсатора. Со временем им на смену пришла RC-цепь, которая была плотно взята в оборот радиоэлектроникой ввиду меньшей стоимости и габаритов.
Конечно, фильтры на RC-цепях не могут полностью вытеснить LC собратьев. Например в фильтрах для АС предпочтительнее использование LC-фильтров. Но практически во всей маломощной электронике главенствуют именно RC-цепи. Например двойная RC-цепь в фильтре RIAA-корректора.
1.1 Общие сведения
Переходные процессы возникают в электрических цепях при
различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т.е. при
действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей,
переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии,
при обрывах цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т.д.
Физической причиной возникновения переходных процессов в
цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т.е.
индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения.
Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов
не может измениться скачком при коммутации в цепи.
Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным
уравнением — неоднородным или однородным, если её схема замещения содержит или
не содержит источники ЭДС и тока. Переходный процесс в линейной цепи описывается
линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной – нелинейными.
Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
параметрами разработаны различные аналитические методы: классический,
оперативный, метод интеграла Фурье и другие, которые применяются и для расчета
переходных процессов. Наиболее распространенными я являются классический и
оперативный методы. Первый обладает физической наглядностью и удобен для
расчёта простых цепей, а второй упрощает расчёт сложных цепей.
1.2 Классический метод
Название метода «классический» отражает использование
в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами
классической математики. Классический метод основан на составлении системы
дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в
цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим
нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений
постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой
конкретной задачи.
Для расчета переходных процессов классическим методом
необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома,
электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации,
и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем
случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения.
Дифференциальное уравнение [ править ]
Основная статья: теория систем LTI
Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением
τ d V d т + V знак равно ж ( т ) { Displaystyle тау { гидроразрыва {dV} {dt}} + V = f (t)}
где τ представляет собой экспоненциальную константу затухания, а V является функцией времени t
V знак равно V ( т ) . { Displaystyle V = V (t).}
Правая часть — это вынуждающая функцияf (t ), описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать каквход системы , на которыйV (t ) являетсяответом или выходом системы. Классические примеры дляf (t ) :
Функция Хевисайда , часто обозначается U
(т ) : ты ( т ) знак равно { 0 , т < 0 1 , т ≥ 0 {displaystyle u(t)={begin{cases}0,&t<0\1,&tgeq 0end{cases}}} импульсная функция , часто обозначается б
(т ) , а также функция синусоидальной входного сигнала: f ( t ) = A sin ( 2 π f t ) {displaystyle f(t)=Asin(2pi ft)} или же
f ( t ) = A e j ω t , {displaystyle f(t)=Ae^{jomega t},}
где A — амплитуда вынуждающей функции, f — частота в герцах, а ω = 2 π f
— частота в радианах в секунду.
Пример решения
Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением V
0 и без функции принуждения: V ( t ) = V o e − t / τ {displaystyle V(t)=V_{o}e^{-t/tau }} куда
V o = V ( t = 0 ) {displaystyle V_{o}=V(t=0)}
это начальное значение V . Таким образом, отклик представляет собой экспоненциальный спад с постоянной времени τ .
Обсуждение
Предполагать
V ( t ) = V 0 e − t / τ {displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/tau }} .
Такое поведение называется «убывающей» экспоненциальной функцией. Время τ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае), чтобы указать, насколько быстро экспоненциальная функция затухает.
Здесь:
t = время (обычноt > 0 в технике управления)V 0 = начальное значение (см. «Особые случаи» ниже).
Конкретные случаи
1) Пусть ; тогда и так t = 0 {displaystyle t=0} V = V 0 e 0 {displaystyle V=V_{0}e^{0}} V = V 0 {displaystyle V=V_{0}} 2) Пусть ; тогда t = τ {displaystyle t=tau } V = V 0 e − 1 ≈ 0.37 V 0 {displaystyle V=V_{0}e^{-1}approx 0.37V_{0}} 3) Пусть , и так V = f ( t ) = V 0 e − t / τ {displaystyle V=f(t)=V_{0}e^{-t/tau }} lim t → ∞ f ( t ) = 0 {displaystyle lim _{tto infty }f(t)=0} 4) Пусть ; тогда t = 5 τ {displaystyle t=5tau } V = V 0 e − 5 ≈ 0.0067 V 0 {displaystyle V=V_{0}e^{-5}approx 0.0067V_{0}} После периода в одну постоянную времени функция достигает e
−1 = примерно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля — как показывает опыт, в технике управления стабильной системой является система, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.
5.10.2 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R и C
Пусть в момент времени t=0 цепь с последовательным соединением резистора и конденсатора подключается к источнику e(t) (рис. 5.14).
Рисунок 5.14
Выберем положительное направление тока и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
Перейдем к свободной составляющей
Характеристическое уравнение
откуда
Свободная составляющая напряжения на конденсаторе
где постоянная времени τ = RC.
Переходное напряжение на конденсаторе
а ток в цепи
Рассмотрим частные случаи.
а) Включение конденсатора на постоянное напряжение U.
При этом конденсатор будет заряжаться до принужденного напряжения U.
Переходное напряжение
Так как до коммутации Uc(0—)=0, то при t=(0+), Uc(0+)=0. Из этого условия находим постоянную интегрирования Uc(0+)=U+A=0 откуда A=U, а переходное напряжение
Зарядный ток цепи
Графики переходного напряжения и тока показаны на рисунке 5.18.
Из графиков видно, что напряжение на конденсаторе нарастает по экспоненциальному закону до величины U. Зарядный ток возникает скачком и затем спадает по экспоненциальному закону.
б) Короткое замыкание цепи
При коротком замыкании цепи конденсатор, предварительно заряженный до напряжения U, будет разряжаться через резистор.
Так как контур RC не содержит источников энергии, переходный процесс в нем носит свободный характер, т.е. UCпр = 0
Рисунок 5.15 — Графики переходного напряжения и тока
Переходное напряжение на конденсаторе
При t = 0+, uc(0+)=U=A, откуда
Разрядный ток
На рисунке 5.16 представлены графики переходного напряжения на конденсаторе и переходного тока цепи.
Рисунок 5.16
Из графиков видно, что по мере разряда конденсатора напряжение на нем убывает по экспоненциальному закону. Разрядный ток в цепи возникает скачком, отрицателен и затухает до нуля.
в) Включение цепи на синусоидальное напряжение
Пусть u=UmSin(ωt+ф) где ф – фаза включения. Установившийся ток цепи
а принужденная составляющая напряжения на конденсаторе
Переходное напряжение на конденсаторе
При t=0+
Откуда
Тогда
На синусоидальное установившееся напряжение накладывается свободная составляющая, которая затухает по показательному закону.
5.10.3 Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными участками R, L, C.
Рисунок 5.17 — Цепь RLC
При включении цепи RLC (рис.5.17) переходный процесс в ней исследуют при помощи уравнения:
Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка
Характеристическое уравнение
Его корни
при двух корнях характеристического уравнения свободный ток
Принужденный ток находится в соответствии с заданной ЭДС. Характер свободного тока зависит от знака подкоренного выражения. Рассмотрим частные случаи:
Короткое замыкание цепи
Пусть конденсатор, заряженный до напряжения U, замыкается на цепь с последовательным соединением индуктивной катушки и резистора. В этом случае уравнение (5.75) будет однородным (в образовавшемся контуре отсутствуют источники энергии).
или
Решение этого уравнения
где p1 и p2 – корни характеристического уравнения (5.22).
Ток в цепи
При t=0+ напряжение Uc(0+)=Uc(0—)=A1+A2=U а ток через катушку индуктивности i(0+)=i(0—)=Cp1A1+Cp2A2=0(к моменту коммутации конденсатор полностью заряжен и ток в цепи равен нулю).
Таким образом, имеем
Решение системы (5.84) дает постоянные интегрирования
С учетом найденных постоянных интегрирования
т.к. p1p2=1/LC. Напряжения на участках цепи
Проанализируем полученные выражения в зависимости от знака подкоренного выражения входящего в корни p1 и p2.
а) Апериодический разряд конденсатора
Если R2/4L2 > 1/LC, то есть R2LC > 4L2; то корни p1 и p2 будут вещественными, отрицательными, причем |p1| 2|.
Это значит, что все, полученные выше величины (i, uR, uL, uC), будут состоять из алгебраической суммы двух экспонент, имеющих разные знаки (ep1t-ep2t), причем первая экспонента затухает медленнее, чем вторая.
Ток i и напряжение uR начинаются с нуля и всегда отрицательны (рис.5.18).
Рисунок 5.18
Рисунок 5.19 — Конденсатор
Напряжение на конденсаторе (рис. 5.19) изменяется с величины U, а напряжение на катушке (рис. 5.20) с величины – U. Напряжение на конденсаторе непрерывно убывает, оставаясь положительным. При этом напряжение на катушке возникает скачком. Оно сначала отрицательно, так как первая экспонента положительна, но меньше второй – отрицательной. Поскольку вторая экспонента затухает быстрее, то в точке t напряжение на катушке проходит через нуль.
Рисунок 5.20
Рассмотренный вид разряда называют апериодическим. Это такой вид разряда, при котором напряжение на конденсаторе монотонно спадает от U до нуля, то есть не происходит перезарядки конденсатора.
б) Критический разряд конденсатора
Такой вид разряда имеет место, когда корни характеристического уравнения вещественны и равны p1=p2=-R/2L а сопротивление контура равно критическому
Общее решение однородного дифференциального уравнения описывается в этом случае выражением:
По начальным условиям UC(0+)=U; iL(0+)=0 находим постоянные интегрирования: A1=U; A2=-pU
Подставляя постоянные интегрирования в уравнения (5.88), получаем
Напряжение на катушке
Кривые i; uR; uC; uL не отличаются по форме от предыдущих.
в) Периодический разряд конденсатора
Такой разряд возникает, если сопротивление конура меньше критического В этом случае корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженными:
Подставляя эти корни в выражения для тока и напряжений, получаем:
Пусть δ/ω=ctgф=Cosф/Sinф тогда
Если в цепи R=0, то δ=0 и
Рисунок 5.21
Таким образом, если бы в цепи не было рассеяния энергии (R=0), ток и напряжения на элементах были бы синусоидальными, то есть в контуре возникли бы собственные незатухающие колебания. Но так как активное сопротивление контура не равно нулю, колебания, возникающие в контуре, затухают по показательному закону (рис 5.21).
Другие разделы главы 5:
- Введение
- 5.1 О невозможности скачка тока в индуктивности и напряжения на емкости
- 5.2 Законы коммутации
- 5.3 Начальные значения величин
- 5.4 Принужденные и свободные составляющие переходных токов и напряжений
- 5.5 Алгебраизация уравнений для свободных токов и напряжений
- 5.6 Характеристическое уравнение
- 5.7 Свойства корней характеристического уравнения
- 5.8 Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях
- 5.9 Определение постоянных интегрирования в классическом методе
- 5.10 Анализ переходных процессов в простых цепях первого и второго порядка
- 5.11 Операторный метод расчета переходных процессов
- 5.12 Лапласовы изображения простых функций
- 5.13 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме при нулевых начальных условиях
- 5.14 Применение операторного метода при ненулевых начальных условиях
- 5.15 Теорема разложения
- 5.16 Расчет переходных процессов методом наложения (интеграл Дюамеля)
Постоянная времени RC — RC time constant
Постоянная времени RC
, также называемая тау, постоянная времени (в секундах ) RC-цепи , равна произведению сопротивления цепи (в омах ) на емкость цепи (в фарадах ), т. Е.
τ знак равно р C
Это время, необходимое для зарядки конденсатора через резистор от начального напряжения заряда, равного нулю, до примерно 63,2% от значения приложенного напряжения постоянного тока или для разряда конденсатора через тот же резистор примерно до 36,8% от его начального значения. напряжение заряда. (Эти значения получены из математической константы e
: и .) Следующие формулы используют ее, принимая постоянное напряжение, приложенное последовательно к конденсатору и резистору, для определения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени: 63,2 % знак равно 1 — е — 1 >
1.3 Операторный метод анализа переходных процессов
Если для классического метода анализа колебаний в
линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных
воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для
аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли
широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет
сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим
уравнениям что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что
расчет переходного процесса переносится из области функций действительной
переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое
преобразование называется прямым.
В настоящее время операторные методы связывают с применением
преобразования Лапласа:
,
где f(t) – однозначная функция времени, называемая
оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым
изображением.
1.1 Общие сведения
Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т.е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т.д.
Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может измениться скачком при коммутации в цепи.
Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением — неоднородным или однородным, если её схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Переходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной – нелинейными.
Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные аналитические методы: классический, оперативный, метод интеграла Фурье и другие, которые применяются и для расчета переходных процессов. Наиболее распространенными я являются классический и оперативный методы. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчёта простых цепей, а второй упрощает расчёт сложных цепей.
1.2 Классический метод
Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Классический метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой конкретной задачи.
Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения.
Анализ переходных процессов в электрических цепях
Федеральное агентство по
образованию
Белгородский
государственный университет
Факультет
компьютерных наук и телекоммуникаций
Кафедра
математических методов и информационных технологий
В экономике и
управлении
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ
РАБОТЕ
По дисциплине: “Основы теории цепей”
на тему: “Анализ переходных процессов
в электрических цепях”
Введение
1.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
1.1 Общие
сведения
1.2
Классический метод расчета
1.3 Операторный метод расчета
2.РАСЧЕТ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
2.1
Определение начальных и конечных условий в цепях с ненулевыми начальными
условиями
2.1.1 Расчёт начальных
условий ПП при
2.1.2 Расчёт начальных
условий ПП при
2.1.3 Расчёт конечных
условий
2.2
Определение переходных процессов классическим методом
2.3 Построение
графиков
2.4 Расчет
графиков переходного процесса
2.5 Обобщенные
характеристики цепи
Список использованных источников
Термин: Постоянная времени RC-цепи
τ – постоянная времени RC-цепи – это временна́я характеристика простой электрической цепи, в которой происходит изменение заряда конденсатора С за счёт его разряда через сопротивление R. Постоянная времени вычисляется как τ=R*C , что эквивалентно размерности «секунда» . Как показано на рисунке, постоянная времени τ входит в аналитическую функцию описания процесса изменения напряжения на конденсаторе U(t) при его заряде от источника напряжения через сопротивление R. На рисунке U(0) – это начальное напряжение на конденсаторе (в момент времени t=0), а U(∞) – это напряжение источника напряжения, к которому асимтотически стремится U(t).
За время, равное τ, напряжение на конденсаторе изменяется от U(0) до U(∞) + /e, где e=2,718. .
Экспоненциальный заряд конденсатора происходит для случая U(∞) > U(0), а экспоненциальный разряд – для случая U(∞) -t/τ ) в моменты времени t от t=0,001τ до t=10τ протекания экспоненциального процесса.
| Время процесса в единицах τ=RC | Доля неустановившейся величины напряжения e -t/τ | |
| *100, % | *10 6 , ppm | |
| 0,001τ | ≈99,9% | ≈999000 |
| 0,01τ | ≈99% | ≈990000 |
| 0,1τ | ≈90% | ≈900000 |
| 0,5τ | ≈61% | ≈610000 |
| τ | ≈37% | ≈370000 |
| 2τ | ≈14% | ≈140000 |
| 3τ | ≈5,0% | ≈50000 |
| 4τ | ≈1,8% | ≈1800 |
| 5τ | ≈0,67% | ≈6700 |
| 6τ | ≈0,25% | ≈2500 |
| 7τ | ≈0,091% | ≈910 |
| 8τ | ≈0,034% | ≈340 |
| 9τ | ≈0,012% | ≈120 |
| 10τ | ≈0,0045% | ≈45 |
Понятие постоянной времени RC-цепи помогает оценить время протекания процесса при анализе эквивалентных электрических схем, содержащих RC-цепи. Заметим только, что понятие постоянной времени не применимо для частного случая заряда-разряда конденсатора постоянным током, где закон изменения напряжения и заряда на конденсаторе имеет линейный характер, а не экспоненциальный.
Постоянные времени RC-цепей (в качестве величин с прозрачным физическим смыслом) участвуют в аналитических решениях дифференциальных уравнений, описывающих не только экспоненциальные процессы в электрических схемах, содержащих RC-цепи (например, пассивные и активные RC-фильтры).
Источник
Источник: